• 平移：$(A)_z={c\mid c=a+z,a\in A}$，$A$的原点移动到$z$
• 映射：$\hat{B}={w\mid w=-b,b\in B}$
• 求补集：$A^c={w\mid w\notin A}$
• 求差集：$A-B={w\mid w\in A,w \notin B}=A\bigcup B^c$
• 膨胀：$A\oplus B={z\mid (\hat{B})_z\bigcap A=\emptyset}$，又有$(A\ominus B)^c=A^c\oplus \hat{B}$（易从上面等式推出）
• 腐蚀：$A\ominus B={z\mid (B)_z \subseteq A}={z\mid (B)_z\bigcap A=(B)_z}$
• 开操作（先腐蚀后膨胀，平滑轮廓，切断狭区，消除小的孤岛和突刺）：$A\circ B=(A\ominus B)\oplus B$；且有性质$A\subseteq A\circ B,C\subseteq D \to C\circ B \subseteq D\circ B,(A \circ B)\circ B=A\circ B$（算子应用一次后，一个集合进行多少次开操作或闭操作或闭操作都不会有变化）
• 闭操作（先膨胀后腐蚀，平滑轮廓，融合狭窄的间断和细长的“沟壑”，消除小的空洞）：$A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B$；且有性质$A\subseteq A\bullet B,C\subseteq D \to C\bullet B \subseteq D\bullet B,(A \bullet B)\bullet B=A\bullet B$
• 击中或击不中变换：令$B=(B_1,B_2)$，则用结构$B$对集合$A$进行匹配操作的定义为$A\circledast B=(A\ominus B_1)\bigcap(A^c\ominus B_2)=(A\ominus B_1)-(A\oplus\hat{B_2})$
• 边界提取：集合$A$的边界$\beta(A)=A-(A\ominus B)$
• 区域填充：取集合$A$上初始点$p$，取$X_0=p$，计算$X_k=(X_{k-1}\oplus B)\bigcap A$，直到$X_k=X_{k-1}$，则$X_k$为所求。
• 连通分量：设$A$为包含子集的集合，取一个边界内的初始点$p$，取$X_0=p$，计算$X_k=(X_{k-1}\oplus B)\bigcap A$，直到$X_k=X_{k-1}$，则$X_k$为所求
• 凸壳：如果连接集合$A$内任意两点的直线段都在$A$的内部，就称$A$是凸集；任意集合$S$的凸壳$H$是包含$S$的最小凸集，集合差$H-S$称为$S$的凸缺
  • 令$B^i,i=1,2,3,4$表示下图四个结构元（最外圈边缘四行），$X_k^i=(X_{k-1}\circledast B^i)\bigcup A ,i=1,2,3,4,k=1,2,\ldots$，且取$X_0^i=A$。当$X_k^i=X_{k-1}^i$时，我们令$D^i=X_k^i$，则$A$的凸壳$C(A)=\bigcup_{i=1}^4D^i$
  • 换言之，反复由$B^i$对$A$做击中或击不中变换，直到结果不变化时得到$D^i$
• 细化：$A\otimes B=A-(A\circledast B)=A\bigcap(A\circledast B)^c$
  • 用结构元素序列${B}={B^1,B^2,\ldots,B^n}$对集合$A$的细化定义为$a\otimes {B}=(\ldots((A\otimes B^1)\otimes B^2)\ldots)\otimes B^n$
• 粗化：$A\odot B=A\bigcup (A\circledast B)$
  • 用结构元素序列${B}={B^1,B^2,\ldots,B^n}$对集合$A$的细化定义为$a\odot {B}=(\ldots((A\odot B^1)\odot B^2)\ldots)\odot B^n$
• 骨架：$S(A)=\bigcup_{k=0}^KS_k(A),S_k(A)=\bigcup_{k=0}^K\mid (A\ominus kB)-[(A\ominus kB)\odot B]\mid $
• 裁剪：$X_1=A\otimes {B},X_2=\bigcup_{k=1}^s(X_1\circledast B^k),X_3=(X_2\oplus H)\bigcap A,X_4=X_1\bigcup X_3$，$X_4$是裁剪集合$A$的结果。用第一个等式求取$X_1$的次数必须是确定的。结构元素$V$用于前两个等式。第三个等式中，$H$表示结构元素。

灰度级图像扩展

• $b$是平坦元
  • 腐蚀：$f\ominus b=\min_{(s,t)\in b}{f(x+s,y+t)}$
  • 膨胀：$f\oplus b=\max_{(s,t)\in b}{f(x-s,y-t)}$
• $b_N$是非平坦元
  • 腐蚀：$f\ominus b=\min_{(s,t)\in b}{f(x+s,y+t)-b_N(s,t)}$；如果所有结构元素值为正，则图像变暗；如果在输入图像中亮的细节比结构元素的面积小，则亮度效果将被消弱
  • 膨胀：$f\oplus b=\max_{(s,t)\in b}{f(x-s,y-t)+b_N(s,t)}$，又有$(f\ominus b)^c(s,t)=(f^c\oplus\hat{b})(s,t)$，其中$f^c=-f(x,y),\hat{b}=b(-x,-y)$
• 开操作和闭操作：灰度图像的开操作和闭操作与二值图像的对应操作具有相同的形式。开操作经常用于去除小的明亮的细节；闭操作经常用于去除小的黑暗的细节。
• 形态学图像平滑：先采用开操作，然后采用闭操作以去除亮和暗的噪声。
• 形态学图像梯度：$g=f\oplus b-f\ominus b$
• 形态学top-hat变换：$T_{hat}=f-f\circ b$（白顶帽变换）；$B_{hat}=f\bullet b-f$（黑底帽变换）